Оптимизация

***

В предыдущих статьях мы разобрали задачи на вклады и кредиты. Теперь пришла пора поговорить о задачах на оптимизацию.

На экзамене ЕГЭ в основную волну никто никогда не давал такой прототип номеров. Пару раз он попадался на досроке и резерве многие годы назад.

Но страх перед ними все еще находится среди нас. Частично он оправдан.

Вся проблема задач на оптимизацию заключается в том, что в них нет какого-то специального алгоритма, который позволит решить любую задачу экзамена. От вас требуется умение работать с функциями + знание производных.

Что вообще делать в подобных прототипах

Задачи на оптимизацию грубо можно свести к следующей последовательности действий, которая поможет разобраться с большинством подобных заданий:

• Выделить (как правило) 2 неизвестных
• Найти взаимосвязь между двумя этими неизвестными (обычно это какое-то равенство)
• Выразить одну переменную через другую
• Составить функцию, которую просят оптимизировать в задании
• Исследовать функцию на минимальные/максимальные значения с использованием производной и ограничений на переменные, которые мы получаем из условия или взаимосвязи между переменными

Рассмотрим некоторые задачи, чтобы вы чуть лучше понимали, что вообще может попасться из таких прототипов.

Конкретная задача

В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Сначала сделаем таблицу и обозначим за переменную количество мальчиков в первом классе:

Если получается, то можно попробовать обойтись без второй переменной. Для этого постараемся выразить все оставшиеся ячейки таблицы через х.

Пусть именно в первом классе 22 человека, а во втором классе 23 человека. Тогда девочек в первом классе будет 22 — х (из общего количества вычитаем количество мальчиков).

Теперь подумаем над количеством мальчиков во втором классе. Если их всего 20, а в первый уже пошло х, то во второй класс пойдут все оставшиеся мальчики, что есть 20 — х. Тогда мы можем сказать, что девочек во втором классе будет 23 — (20 — х) = х + 3.

Можно было найти кол-во девочек во втором классе как разность между общим кол-вом девочек и кол-вом девочек в первом классе. Тогда из 25 мы бы отнимали 22 — х. Результат был бы тем же.

Дальше считают процент девочек в каждом классе. Для этого кол-во девочек надо делить на общее кол-во людей в классе и умножать на 100:

Теперь мы строим функцию, которую надо оптимизировать. Функцией является сумма этих процентов:

Давайте пробежимся по преобразованиям. Сначала вынесли общий множитель 100 и разделили наши дроби так, чтобы можно было поработать отдельно с иксами. Дальше выражения с иксами приводим к общему знаменателю и считаем результат в числителе.

Уже здесь можно заметить, что при увеличении х значение функции будет уменьшаться. Значит, нам необходимо взять наименьший возможный х, чтобы значение функции было максимальным.

Какое наименьшее значение может принимать х? Это значение равно 0. То есть у нас должно быть 0 мальчиков в первом классе. Исходя из этого можно найти оставшееся распределение.

Если этого не заметить, то надо было бы взять производную. Она бы равнялась отрицательному числу без иксов что показывало бы то, что функция является убывающей. Это бы привело нас к тем же соображениям по поводу необходимого значения х, которое следовало взять.

***

Разумеется, есть и другие, более сложные прототипы, которые потенциально могут вам попасться.

Один из таких я подробно разобрал вот в этом видео (перед этим, пожалуйста, изучите/повторите формулы производных, чтобы понимать, о чем идет речь).

Обязательно с ним ознакомьтесь:

https://vk.com/video-198879634_456239033

***