Нахождение точек экстремума и наибольших/наименьших значений функции

***

В предыдущей статье мы разобрались с формулами производных. Теперь пришла пора рассмотреть задания, в которых они чаще всего применяются!

Задание №11 бывает 2-х типов:

• Найти точку экстремума
• Найти наибольшее/наименьшее значение функции

Алгоритмы работы под каждый прототип почти одинаковые, только во втором случае вам просто необходимо будет выполнить на несколько действий больше.

Сейчас будем разбираться с каждым из них отдельно :)

Нахождение точек экстремума

Напомню, что в точках экстремума производная равна 0. Вокруг этого и будут крутиться наши действия.

• Шаг 1 — взять производную
• Шаг 2 — приравнять ее к 0
• Шаг 3 — решить полученное уравнение
• Шаг 4 — отметить полученные корни на числовой прямой
• Шаг 5 — расставить на числовой прямой знаки производной и определить нужную точку экстремума

Ну как бы и все.

Давайте теперь потренируемся на конкретных примерах заданий экзамена:

Выполняем все по описанным выше действиям и получаем следующее:

На 5-ом шаге сверху мы ставим знаки производной методом интервалов (берем какое-нибудь значение из промежутка и подставляем В ПРОИЗВОДНУЮ, определяя ее знак на каждом промежутке)

Снизу отображено поведение функции (если производная положительная, то функция растет; с отрицанием работаем аналогично)

После того, как мы расставили знаки, можно определить, какая из двух точек является точкой максимума. В нашем задании это х = -4. Это значение и пишем в ответ.

Разберем еще одно задание (посложнее):

Самое главное — правильно написать производную. Сделаем это подробно.

Учтите, что е в степени 3 — х является сложной функцией, поэтому производная от нее будет находиться не банальным переписыванием этого выражения:

Если при решении у вас будет только одна точка, в которой производная равна 0, значит, она и будет вашим ответом (но проверьте, что она точно одна, и у вас нет ошибок в решении).

Если вы научитесь без проблем брать производные, то эти задачи вы будете щелкать как орешки :)

Нахождение наибольшего/наименьшего значения функции

На первых шагах алгоритм ничем не отличается. Единственное, что нужно будет сделать — подставить точки экстремума и границы промежутка (если их дают) в ИСХОДНУЮ функцию, чтобы найти значения.

Можно подумать, что наибольшее значение в точке максимума, а наименьшее — в точке минимума, но это не всегда так. Приведу сразу примеры функций, в которых наибольшие и наименьшие значения лежат на границах (чтоб вы поняли, почему мы границы тоже подставляем):

Перейдем сразу к практике:

Найдем производную и приравняем ее к 0. Дальше решим уравнение, найдем точки экстремума и подставим их в исходную функцию вместе с границами промежутка, который нам дали:

Когда мы подставляли границы, увидели, что ответ получается не под формат экзамена. Его нельзя записать в первой части, значит, можно не досчитывать. Единственным подходящим остается 51.

Также можно было на прямой отметить точку экстремума и заметить, что она является точкой максимума (а другого ничего нет на полученном промежутке), поэтому там наибольшее значение. Но могут попасться задания, где нужное значение все же находится на границе, так что лучше немного «перебдеть» и железно решить номер.

Если вы отработаете данные алгоритмы, то спокойно будете решать любые прототипы задания №11. Сделайте упор именно на умении брать производную. Все остальное уже не составит для вас большого труда :)

***