Формулы производных

***

Формулы производных в основном пригодятся тебе в решении заданий №11. Однако они также могут помочь тебе при решении заданий №6 на физический смысл производной и №15 на оптимизацию.

Также знания по производным однозначно могут пригодиться и в заданиях с параметрами, так что это тему обходить стороной точно не вариант :)

Сами формулы

Выводить из пределов мы формулы не будем, поэтому можешь их просто выучить, но некоторые выводы все равно стоит понять.

Для начала представлю все необходимые для экзамена формулы, а потом пробежимся по каждой из них, чтобы было понятнее, как это все дело применяется.

Сами формулы:

Ну и правила, по которым мы будем искать производные от более сложных выражений:

Про производную сложной функции мы поговорим позже.

Разбираемся подробнее с этими самыми формулами

1) Производная от числа равна 0. То есть производная от любого выражения, где нет переменной, будет равна 0. Вот примеры:

2) Для нахождения производной от х в какой-то степени нам необходимо вынести степень как коэффициент перед икс и умножить его на х в степени на 1 меньше, чем было.

Иногда отдельно выделяют производную от корня из х и производную от 1/х, но сейчас мы разберем, как эти формулы получаются:

3) Тут скорее сразу пример приведем :)

4) Эту формулу можно вывести с использованием предыдущей:

5) Тут тоже сразу пример использования:

6) Формула с ln также выводится из предыдущей:

7) Ну с синусами и косинусами особо и примера показывать нет смысла, но зато можно вывести производные для тангенса и котангенса, используя правила, которые мы записывали (для производной дроби):

Попробуйте самостоятельно вывести формулу для котангенса (это будет как минимум полезно).

А теперь очень важный момент. ВМЕСТО Х МОЖЕТ БЫТЬ ЛЮБОЕ ВЫРАЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ. Принцип работы при этом будет оставаться тем же.

Это нужно было сказать, чтобы вы дальше понимали работу с взятием производных от сложных функций.

Производные сложных функций

Обычно многим сначала не очень понятно, что это вообще такое.

Смысл заключается в том, что вам необходимо взять сначала производную от внешней функции и умножить ее на производную от внутренней функции (аргумента внешней).

Сейчас все покажу на конкретном примере:

У нас есть внешняя функция — возведение чего-то* в 5-ю степень. Мы берем это по правилу чего-то* в степени (вторая по счету из тех, что мы разбирали выше). Дальше мы этот результат умножаем на производную от того, что было внутри.

*чего-то — любое выражение с переменной.

Останавливаемся мы в тот момент, когда нужно было бы взять производную от числа (то есть все переменные ушли).

Сейчас доведем до конца этот пример, а после покажу еще один (усложненный).

Теперь рассмотрим другой случай (на ограничения и преобразования после полного взятия производной можно пока не обращать внимание):

Прям такого на ЕГЭ не дадут, но тут важно, чтобы вы поняли смысл.

Сначала мы взяли производную от ln чего-то. Получили 1 / на вот это что-то. Дальше умножаем это на производную от того, что было под ln (то есть на его аргумент).

Дальше мы видим, что это производная корня из чего-то. По правилам, она равна 1 / 2 таких корня из чего-то. После умножаем это на то, что было под корнем.

Ну а производную от того, что было под корнем, найти уже гораздо легче. Просто находим производную от каждого слагаемого.

Теперь вы в курсе, какие формулы производных нужно знать для ЕГЭ. Осталось попрактиковаться в их взятии :)

***