Сплавы и смеси

***

Задачи на сплавы и смеси иногда пугают школьников, так как им непросто правильно осознать алгоритм работы с такими заданиями.

В этой статье мы разберем один из самых удобных способов решения подобных заданий, который позволит без проблем справиться с любой задачей из тех, которые могут встретиться вам на экзамене :)

Алгоритм работы

Мы будем использовать так называемый «метод рычага»

Что нам надо будет сделать?

1) Нарисуем отрезок и отметим черточками количество смешиваемых сплавов/смесей

2) Сверху напишем проценты вещества, с которым работаем, которые нам дадут (или спросят), а снизу напишем массы/объемы, которые будут в условии (или которые попросят найти)

3) Где-то посередине отметим информацию про итог смешивания. Сверху укажем процент после смешивания, а снизу укажем массу/объем полученного раствора

4) Напишем уравнение, как показано на картинке:

То есть, чтобы получить общий процент, умноженный на общую массу, нам необходимо просуммировать проценты на массы всех смешиваемых сплавов/смесей.

Если бы у нас было больше смешиваемых растворов, то выглядело бы это все следующим образом:

Практика в задачах

В этой задаче мы сталкиваемся с ситуацией, где добавляют воду. Сверху мы пишем процент вещества, с которым мы работаем. Но чистая вода на то и чистая вода, что там нет ничего, кроме воды. Значит, процентное сожержание нашего некоторого вещества в чистой воде будет равно 0!

ТАК БУДЕТ ВСЕГДА ПРИ ДОБАВЛЕНИИ ВОДЫ!

Теперь перейдем к составлению уравнения. Обычно при работе с процентами мы должны перевести их в десятичные числа, но конкретно в этих заданиях этого делать не обязательно. Давайте рассмотрим оба случая (с переводом и без), чтобы вы поняли, о чем я говорю:

Вопрос задачи подразумевает нахождение именно процента. Поэтому какой смысл сначала все делить на 100, чтобы потом снова умнажать на 100?

Теперь рассмотрим случай, когда разговор идет о массах:

Сначала пишем рычаг и ставим числа, которые нам известны. Затем вводим переменную вместо одной из масс. Пусть масса первого икс. Тогда, раз мы знаем сумму масс, можно выразить массу второго как общую минус первую. Ну и дальше решаем уравнение:

При решении этого задания надо не забыть, что просили найти не массу первого, а разницу в массах первого и второго, так что мы из 150 (массы второго) вычитаем 50 (массу первого). Получаем в ответе 100.

Если массы не дали, но сказали, что они равны

Вам могут попасться задания, в которых вам дадут только проценты и скажут, что массы/количество смешиваемых сплавов равны/одинаковы.

Давайте рассмотрим одну из таких задач и поймем, что можно будет в таком случае записать вместо масс.

Сначала нарисуем рычаг и отметим массы некоторой переменной (пока мы не знаем, что там можно на самом деле написать):

Важно не то, что процент будет средним арифметическим, а то, что ИКС СОКРАТИЛСЯ!

Это значит, что нам не важно, каким он был, что означает, что вместо него можно подставлять любое число.

В этих заданиях прощего всего подставлять 1.

Как это могло выглядеть с обновленной информацией:

Что делать, если у нас несколько смешиваний?

Важно запомнить: сколько смешиваний — столько рычагов.

Рассмотрим для примера вот такую задачу

Сначала сосуды смешивают с массами 30 и 20, а потом их смешивают с равными массами. Вот и получается два рычага и два уравнения.

Сразу стоит отметить, что проценты не могут считаться так же, как и массы, а значит, в этой задаче нужно вводить две переменные (для этого и дают возможность составить два уравнения).

Почему нельзя выразить процент одного через процент другого и процент после смешивания? Ну, если вы смешиваете 70 процентый раствор с 80 процентным раствором, вы не получаете 150 процентный раствор (больше 100 быть не может). Как раз для определения такого процента мы и писали принцип составления уравнения. Только так можно получить какую-то взимосвязь между процентами.

Перейдем к составлению рычагов:

Ну а теперь мы решаем систему:

Формулировка специфичная, но смысл такой, что мы нашли концентрацию кислоты в первом. Она равна 60%. Чтобы найти ее эквивалент в массе, нам надо найти 60% от массы первого :)

Для этого достаточно сделать вот такое действие:

А если смешивания 2, да и при этом в каждом смешивании используют 3 сплава?

Да, это самый жесткий прототип, но мы и его разберем

Смешиваний несколько, значит и рычагов несколько. Что меняется во втором смешивании? Воду меняют на кислоту. Массу первого и второго не знаем. Обозначим их за х и y. Тогда общая масса после смешивания в обоих случаях будет x + y + 10:

Теперь осталось решить систему. Здесь надо найти х. Значит, будем выражать y. Но чтобы сделать это проще, стоит из второго уравнения вычесть первое уравнение:

Ну а теперь можно спокойно все поделить на 5 и выразить y через х:

Осталось подставить теперь это выражение в одно из уравнений в системе (лучше в первое):

Вот так мы получаем ответ :)

В целом, задачи на сплавы и смеси не очень сложные с точки зрения идеи решения. Надо просто побольше поработать с этими заданиями, и тогда у вас все получится!

***