Теория вероятности

***

Тема вероятностей встречается на ЕГЭ в 2-х номерах первой части экзамена. Сначала идет задача более простого формата, где необходимо (чаще всего) поделить одно число на другое. Затем идет более сложная задача, где необходимо знать ситуации, при которых складываются/перемножаются вероятности.

Сейчас будем во всем разбираться :)

Определение вероятности события

Важно также учитывать, что вероятность считается не в процентах, а в десятичной дроби от 0 до 1 (где 1, условно, 100% вероятность).

Рассмотрим все на примере вот такой простенькой задачи:

На экзамен вынесено 30 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

Однако это задачу можно было решить и другим способом.

Вероятность противоположного события

В некоторых задачах проще находить вероятность нужного нам события через нахождение противоположного события. Формулы, которые мы будем использовать в этих задачах, следующие:

Давайте разберемся, как можно было решить предыдущую задачу, используя вероятность противоположного события.

На экзамен вынесено 30 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

Сначала мы можем найти вероятность того, что Андрею попадется НЕвыученный билет. Дальше мы из 1 вычитаем вероятность этого события и получаем ответ:

Особенно часто этот прием стоит использовать, когда вероятность нужного нам события ищется долго/неудобно.

Для примера возьмем вот такую задачу:

В среднем из 700 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Подумайте, что проще сделать? Поделить 7 на 700 и вычесть из 1 результат деления? Или делить 693 на 700?

Кажется, что выбор очевиден.

---

Этих двух фактов уже достаточно, чтобы справиться с большинством заданий второго номера ЕГЭ.

---

***

Вероятность суммы несовместных событий

Сначала разберемся с определением несовместных событий.

Несовместными (или несовместимыми) называют те события, появление которых в одном испытании исключают появление других.

То есть если вы один раз подкинули монету, то у вас не может одновременно выпасть и орел, и решка. Выпадет либо одно, либо другое. Такие события как раз называют несовместными.

Также можно привести пример с игральной костью. Вам не может выпасть одновременно при одном бросании кости и 1, и 2, и 3 и т.д. Выпадение одного результата исключает выпадение других.

При подготовке к экзамену вы крайне редко будете натыкаться на задания, где события будут совместными или зависимыми.

В целом, они не представляют из себя чего-то страшного. К ним просто будет немного другой подход.

Теперь давайте переходить к формуле:

Как же она используется?

Допустим, игральную кость бросили 1 раз. Вам необходимо найти вероятность того, что выпало четное число.

Какие варианты вам подходят? Числа 2, 4, 6.

• Вероятность выпадения 2 равна 1/6
• Вероятность выпадения 4 равна 1/6
• Вероятность выпадения 6 равна 1/6

Тогда вероятность искомого события:

Вы можете возразить и сказать, что тут надо было сразу 3 поделить на 6, ведь у нас есть 3 благоприятных исхода и 6 всего.

Да, конкретно тут это сработает, ведь (как вы могли заметить) вероятность выпадения каждого числа одинаковая (события являются равновероятными).

Однако это будет выполняться не во всех задачах.

Представим себе следующее условие:

Команда играет футбольный матч. Вероятность победы равна 0,3. Вероятность того, что команда сыграет вничью 0,4. С какой вероятностью команда выиграет или сыграет вничью?

Если действовать по логике кол-во нужных вариантов делим на кол-во всех, то получится ответ 2/3 (всего 3 варианта, нужных нам 2). Но это будет ошибкой.

В рамках условия (одного действия) нам подходят 2 события. Поэтому мы складываем вероятность каждого и получаем ответ 0,3+0,4=0,7.

Если же события были бы равновероятными (то есть вероятности победить, проиграть и сыграть вничью были бы 1/3), то в таком случае мы бы могли использовать самую первую формулу.

Вероятность произведения независимых событий

Независимыми являются те события, появления которых не влияют на вероятность появления других.

Формула тут из названия будет понятна :)

Осталось только понять, как ее правильно применять.

Много где пишут, что «если мы говорим ИЛИ, то складываем, если говорим И, то перемножаем». В целом то оно, конечно, примерно так и работает, но это не всегда показывает общую картину того, что от вас будет требоваться.

Поэтому я напишу это немного по-другому и с конкретными примерами.

Когда условие вероятности, которую просят найти, подразумевает ОДНО действие, и вам подходят РАЗНЫЕ варианты, то вы складываете вероятности этих РАЗНЫХ вариантов.

Игральная кость бросается 1 раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, которое больше 4.

Нам подходят 5 и 6. Вероятность каждого отдельного события равна 1/6. Итоговый результат равен 2/6 или 1/3. (Пример сложения).

Когда условие вероятности, которую просят найти, подразумевает НЕСКОЛЬКО действий, и КАЖДОЕ ИЗ НИХ ДОЛЖНО ПРОИЗОЙТИ, то вы перемножаете вероятности этих событий.

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

В нашем случае происходит 5 действий (выстрелов). Результат каждого выстрела мы знаем. Все они должны произойти.

Сначала мы находим вероятность того, что биатлонист промахнется (это 1-0,8=0,2). Теперь находим вероятность с помощью перемножения вероятностей всех отдельных событий:

***

Комбинация идей

Разумеется, бывают и случаи, где отдельные варианты находятся с помощью перемножения, а затем складываются. Разберем вот такую задачу:

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Для начала схематично отобразим «дерево вариантов». Результат попадания/промаха начинается с выбора пистолета. Только потом уже будет производиться выстрел:

                       

Нам нужно найти вероятность того, что Джон промахнется. Какие варианты нам подходят? Либо промах из пристрелянного, либо промах из непристрелянного.

Но чтобы промахнуться из пристреленного/непристреленного, надо сначала его взять с какой-то вероятностью.

Поэтому сперва найдем вероятность того, что Джон возьмет пристрелянный и при этом промахнется. Затем найдем вероятность того, что Джон возьмет непристрелянный и при этом промахнется. А потом сложим эти вероятности, так как оба варианта подходят нам:

***