Полезные факты про вписанный четырехугольник для планиметрии второй части

***

Теорема Птолемея

Если около четырехугольника можно описать окружность, то произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Также верно и то, что если произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около четырехугольника можно описать окружность.

Выводится данное равенство через рассмотрение подобных треугольников. В подобных ситуациях у нас появляется множество равных вписанных углов, с которыми мы можем работать.

Формула Брахмагупты

Если около четырехугольника можно описать окружность, то его площадь можно найти по следующей формуле:

Она чем-то напоминает формулу Герона, только в этой формуле вместо отдельного полупериметра из него вычитается 4-ая сторона.

Освежаем в памяти

Вкратце напомним, что четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противоположных углов равна 180 градусов.

Теперь давайте вспомним, какие еще углы в сумме дают 180 градусов. На ум как минимум должны прийти смежные и односторонние углы.

В заданиях первой части периодически необходимо работать с тригонометрическими функциями смежных углов.

Напомним, что синусы смежных углов равны, а все остальные функции равны по модулю и противоположны по знаку.

В нашем случае также стоит вспомнить о тригонометрических функциях наших противоположных углов, которые в сумме дают 180 градусов. Если нам известны стороны некоторых треугольников, то мы можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения углов в этих треугольниках.

Именно поэтому важно держать в голове, что косинусы противоположных углов в вписанном четырехугольнике равны по модулю и противоположны по знаку!

Иногда в задачах, где необходимо доказать то, что четырехугольник вписан, необходимо идти именно через нахождение косинусов противоположных углов.

***