Теорема Чевы и теорема Менелая

***

Теоремы Чевы и Менелая актуальны чисто для второй части экзамена. В основном они могут понадобиться в планиметрических задачах, но подобные идеи также будут полезны и при работе с задачами по стереометрии, где вам необходимо на каком-то этапе переходить к рассмотрению фигур на плоскости.

Теорема Чевы

Сначала давайте введем понятие чевианы.

Чевиана — любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону.

Для лучшего понимания важно сказать, что медианы, биссектрисы, высоты в треугольнике являются частными случаями чевиан.

Теперь перейдем к самой теореме.

Пусть дан треугольник АВС и на его сторонах АВ, ВС, СА отмечены точки С₁, А₁, В₁ соответственно.

Если отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке,

АА₁, ВВ₁, СС₁ — чевианы, пересекающиеся в одной точке внутри треугольника (внутренняя точка)

то справедливо следующее равенство:

Верно и то, что если при тех же исходных данных выполняется данное равенство, то мы можем утверждать, что отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке.

Внешний случай

Также данное соотношение будет верно, если наши чевианы пересекаются в точке, которая лежит вне треугольника.

Случай внешней точки

Доказывать эту теорему можно очень по-разному. Можно идти через теорему о пропорциональных отрезках. Можно идти через подобия, можно идти через отношения площадей треугольников. В целом, все эти темы проходятся в 8-9 классе, именно поэтому эту теорему вы «типа» должны были выучить еще до того, как должны были встретиться с ОГЭ.

Как запомнить данное равенство?

Лучше всего понять принцип работы этого соотношения. Вам необходимо взять вершину треугольника и из нее сделать поочередный «обход» всех других вершин, пока вы не вернетесь в изначальную точку.

То есть вы берете точку А, идете к точке В. Также на прямой АВ и у вас есть точка С₁, значит, АС₁ делите на С₁В. Дальше из точки В вы идете в точку С. На прямой ВС есть точка А₁, значит, ВА₁ делите на А₁С. Ну и в завершении из точки С двигаетесь к точке А. На прямой СА у вас есть точка В₁. Значит, вы СВ₁ делите на В₁А.

Все полученные отношения перемножаете и получаете 1.

При этом вам не важно, в каком направлении и из какой вершины вы двигаетесь. Можно было тот же маневр выполнить из точки В, двигаясь сначала к точке А.

Теорема Менелая

Если вы поняли предыдущую теорему, то с этой уже будет полегче разобраться.

Пусть дан треугольник АВС и на его сторонах АС и СВ отмечены точки В₁ и А₁ соответственно, а на продолжении стороны АВ отмечена точка С₁.

Если точки В₁, А₁, С₁ лежат на одной прямой,

то верно следующее равенство.

Также можно сказать, что из равенства, которое написано выше, следовало бы то, что эти три точки А₁, В₁, С₁ лежали бы на одной прямой.

Как и в предыдущий раз, стоит обратить внимание на принцип работы данного равенства.

Вы берете вершину треугольника А и начинаете делать «обход». На пути к С есть точка В₁. Поэтому АВ₁ делите на В₁С. Дальше СА₁ делите на А₁В, ну и потом ВС₁ делите на С₁А.

Как и в случае с теоремой Чевы, этот же принцип будет работать, если взять все точки на продолжениях сторон (случай внешних точек). Мы также можем утверждать, что эту теорему можно записывать из любой вершины треугольника, двигаясь в любом направлении.

Приглядись

Дополнительно хочу обратить ваше внимание на то, что в рисунке для теоремы Чевы можно разглядеть рисунок для теоремы Менелая.

Возьмите точки А, В₁, С, Z, C₁, B, A₁ и получите ровно то, о чем мы сейчас говорили.

---

Данные теоремы обычно используются либо для нахождения/доказательства каких-то отношений сторон в случаях, когда вы знаете много других отношений, либо для того, чтобы доказать, что какие-то точки лежат на одной прямой, если выполнится одно из равенств, которые мы записали выше. Так что пробуйте, практикуйтесь, и все у вас получится!

---

***