Окружность (часть 2)

***

В первой части статьи мы разобрали элементы и свойства, которые чаще всего встречаются на экзамене. Теперь пришла пора разобрать менее очевидные факты, которые в полной мере раскрываются именно во второй части экзамена. 

1) Теорема о двух секущих.

Вывод формулы можно посмотреть на следующих картинках

Произведение внешней части одной секущей на всю ее длину равно произведению внешней части другой секущей на всю ее длину.

На экзамене конкретно это свойство встречается не так часто, однако оно позволяет осознать другое свойство, которое с одной стороны очень похоже на данное, но с другой стороны сильно отличается.

Речь идет о ситуации, в которой вместо двух секущих рассматривают секущую и касательную, которые проведены из одной точки.

2) Теорема о секущей и касательной.

Вывод формулы можно посмотреть на следующих картинках

Уже сейчас можно заметить, что в окружности достаточно часто будут встречаться ситуации, в которых имеет смысл рассматривать подобие треугольников, так как можно найти достаточно большое количество углов, которые будут равны друг другу (в основном будут опираться на равные/одинаковые дуги).

3) Теорема о произведении отрезков хорд.

Вывод формулы можно посмотреть на следующих картинках

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

На экзамене есть несколько прототипов заданий в первой части, где просто проверяют знание данного факта. А во второй части обычно данную теорему используют в заданиях на комбинации треугольников/четырехугольников с окружностью, где дают некоторые элементы фигур, которые будут являться как раз хордами.

4) Радиус/диаметр, перпендикулярный хорде, также делит хорду пополам.

Доказательство можно посмотреть на следующих картинках

Вся эта теория с окружностью является далеко не самой простой, именно поэтому важно не просто запомнить ее, но и понять. Если вы разберетесь в том, откуда были выведены все эти факты, вы не только будете способны вывести их самостоятельно, но и прокачаетесь в умении видеть основные дополнительные построения, которые имеет смысл проводить в задачах на окружности.

***