- Умный справочник
- Математика (профиль)
- Дополнительные построения в трапеции
Дополнительные построения в трапеции
***
Во второй части экзамена иногда приходится приводить дополнительные элементы, чтобы правильно использовать информацию, которую дают в условии задачи. Давайте разберемся со всеми основными дополнительными построениями, которые необходимо держать в голове.
1) Провести обе диагонали.
При проведении двух диагоналей образуются подобные треугольники, с которыми дальше можно работать.
В нашем случае это треугольники АОD и COB. В этих треугольниках можно отметить равные вертикальные углы, а также равные накрест лежащие углы при двух параллельных прямых AD и BC и секущей (на выбор берем одну из диагоналей).
2) Проведение двух высот.
Проведя две высоты из вершин меньшего основания, мы делим трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника, имеющих одинаковые катеты (одинаковая высота трапеции).
Если такое дополнительное построение сделать в равнобедренной трапеции, то в этом случае мы получим два равных друг другу прямоугольных треугольника.
3) Продление боковых сторон до пересечения.
Продлеваем ВА и CD до пересечения в точке Е
Если продлить боковые стороны до пересечения, мы получим треугольник, в котором проведена прямая, параллельная основанию.
За счет параллельных прямых мы снова получаем подобные треугольники. На сей раз это будут треугольники АЕD и BEC.
4) Из вершины малого основания внутри трапеции проводим прямую параллельно одной из боковых сторон.
BK параллельно CD
За счет параллельности мы отсекаем параллелограмм.
Особенно полезным данное дополнительное построение будет в том случае, когда мы знаем все стороны трапеции и нам необходимо найти какой-то угол в трапеции. Угол мы будем искать через теорему косинусов в треугольнике, который здесь образуется.
5) Из одной из вершин основания проводим прямую, параллельную одной из диагоналей до пересечении с прямой, которая содержит другое основание.
Здесь мы также получаем параллелограмм, но дополнительно мы получаем сторону, которая равна сумме длин оснований исходной трапеции, что может пригодиться в задачах на подобные идеи.
***