Формулы площади треугольников

***

В предыдущих статьях мы разобрали большинство основных фактов, связанных с треугольниками.

Теперь настало время разобраться со всеми базовыми формулами площадей треугольников.

Если говорить о площади произвольного треугольника, то можно выделить 5 основных формул, однако дополнительно мы разберем еще 2 для отдельных видов треугольников.

1) Площадь прямоугольного треугольника.

Если вас просят найти площадь прямоугольного треугольника, то самым простым способом будет найти площадь через половину произведения катетов.

— S =1/2 · a · b

Важно помнить, что любой треугольник, при желании, можно достроить до параллелограмма, в то время как прямугольный треугольник достраивается до прямоугольника.

Тогда площадь такого прямоугольного треугольника будет как раз в два раза меньше площади прямоугольника, а значит, для нахождения площади нашего треугольника достаточно лишь площадь прямоугольника поделить на 2. Отсюда и можно выцепить данную формулу.

2) Через основание и высоту.

Давайте представим, что мы проводим высоту в каком-то произвольном треугольнике. Тогда эта высота делит наш треугольник на два прямоугольных, площади которых в сумме дают площадь нашего треугольника. Теперь по предыдущей формуле распишем площади каждого из этих треугольников и окажется, что при сложении мы можем выделить общий множитель в виде высоты, которая является катетом в каждом из этих двух треугольников. В скобках мы получим сумму отрезков, которые дают нам длину основания. Отсюда выводится известная вам формула:

— S =1/2 · a · h

3) Через две стороны и угол.

Можно также пытаться выводить новую формулу через предыдущие, однако есть более простой способ.

Как мы уже сегодня упоминали, любой треугольник можно достроить до параллелограмма, площадь которого будет в два раза больше площади нашего треугольника. Вспомнив формулу S = a · b · sinα, можно заметить, что, поделив данную площадь на 2, мы как раз получаем площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

Итоговая формула для треугольника:

— S = 1/2 · a · b · sinα

4) Формула Герона.

— S = √ p · (p − a) · (p − b) · (p − c), где p — полупериметр (корень из всего выражения).

Это супер полезная формула, которая пригодится вам как в заданиях первой, так и второй части экзамена. Она позволяет находить площадь треугольника, зная только его стороны. При этом удобнее будет использовать данную формулу, если все длины сторон треугольника будут являться рациональными числами.

5) Через радиус вписанной окружности.

— S = r · p, где p — полупериметр.

Данная формула достаточно часто используется не для нахождения площади, а скорее для нахождения радиуса вписанной окружности, однако здесь нам важно понять взаимосвязь площади и радиуса вписанной окружности.

Подробный вывод формулы мы рассматривали вот в этой статье.

6) Через радиус описанной окружности.

Подробный вывод данной формулы мы также рассматривали вот в этой статье.

По итогу:

— S = (a · b · c) / (4 · R)

7) Площадь равностороннего треугольника.

Данную формулу можно получать ооооочень по-разному. Можно вывести итоговую формулу как через основание и высоту, так и через 2 стороны и угол между ними. Вообще будет здорово, если вы сейчас попробуете сделать это самостоятельно с учетом того факта, что все стороны в данном треугольнике равны.

В любом случае вы получите:

— S = (√3 · a · a) / 4

***

В этих формулах важно понять основные принципы того, как они работают, в каких случаях применяются и, самое главное, как их вывести самостоятельно в случае чего. Понимание данных формул позволит без особых проблем определять наиболее эффективные способы решений в заданиях второй части по геометрии!

***