Нахождение расстояний в стереометрии

***

В предыдущих статьях мы разобрали способы нахождения углов между различными элементами стереометрии. Теперь пришла пора разобрать расстояния между ними.

Расстояние от точки до прямой

Чтобы найти расстояние от точки до прямой, необходимо опустить перпендикуляр из точки к этой прямой. Длина данного перпендикуляра будет являться искомым расстоянием.

МН — расстояние от точки М до прямой АB

Дальше, как правило, необходимо рассмотреть один из прямоугольных треугольников, который можно получить, соединив точку с одним из концов отрезка на прямой.

Либо можно попытаться найти высоту в рамках большого треугольника.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости также определяется как длина перпендикуляра, опущенного из точки к плоскости.

Иногда получается точно определить, какой отрезок будет являться перпендикуляром к плоскости, но это не всегда возможно. Поэтому расстояние от точки до плоскости обычно находится по методу объемов.

Объем фигуры можно находить, используя разные высоты и расстояния. Если вам уже известен перпендикуляр к другой грани фигуры, объем которой вы пытаетесь найти, то вам остается найти лишь площадь основания грани, к которой проведена известная высота, и площадь основания, перпендикуляр к которой вы хотите найти.

После этого вы можете выразить необходимую высоту из формулы объема и просто подставить значения.

В методе координат имеется специальная формула для нахождения расстояний от точки до плоскости, но метод координат мы разберем в следующих статьях.

***

Расстояние от прямой до плоскости

Для начала стоит сказать, что расстояние от прямой до плоскости имеет смысл находить лишь в том случае, когда они параллельны. Но если это так, то расстояние от прямой до плоскости можно представить как расстояние от любой точки прямой до плоскости (ведь они будут друг другу равны).

Но тогда расстояние между прямой и плоскостью можно свести к расстоянию от точки до плоскости, а его мы уже находили выше.

Расстояние между плоскостями

Как и в предыдущем примере стоит сказать, что имеет смысл находить расстояние между плоскостями только если они параллельны.

Но даже тут можно сказать, что расстояния между плоскостями сводятся к нахождению расстояния от какой-то одной точки плоскости до другой плоскости. А расстояние от точки до плоскости мы уже изучили.

***

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Общий перпендикуляр

Расстояние между скрещивающимися прямыми является отрезком, который будет перпендикулярен обеим этим прямым.

В очень многих задачах вы будете получать следующую ситуацию.

В первом пункте вы сможете доказать, что одна из прямых перпендикулярна плоскости, в которой лежит другая прямая. Тогда расстояние между прямыми будет являться перпендикуляром, который проведен из точки пересечения нашей прямой (которая перпендикулярна к плоскости с другой прямой) к другой прямой, лежащей в плоскости.

а перпендикулярна к плоскости, значит, и перпендикулярна к h, которая перпендикулярна к b. Значит, h — искомое расстояние

Через расстояние от прямой до параллельной плоскости

Также можно определить расстояние между прямыми как расстояние от одной прямой до плоскости, в которой лежит другая прямая. Но расстояние от прямой до плоскости мы уже с вами рассматривали.

Через расстояние между параллельными плоскостями

Также расстояние между прямыми можно определить как расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые.

Но расстояние между плоскостями мы тоже с вами уже изучили.

---

По итогу, можно сказать, что все расстояния между элементами в стереометрии можно свести к расстоянию от точки до прямой или от точки до плоскости. Если вы хорошо натренируете нахождение этих расстояний и научитесь видеть эти расстояния в других прототипах, то особых проблем в задачах вы не встретите. Если, конечно, у вас нет проблем с планиметрией :)

---

***