Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью

***

В предыдущих статьях мы говорили о том, как доказывается перпендикулярность прямой к плоскости. Сегодня нам это очень сильно пригодится!

Теорема о трех перпендикулярах

Понятие наклонной и проекции наклонной на плоскости

Для начала давайте поговорим о прямой, которая пересекает плоскость под некоторым углом.

Если из какой-то точки этой прямой провести перпендикуляр ко всей плоскости, которую мы рассматриваем, то прямая, проходящая через точку пересечения нашей изначальной прямой с плоскостью и точку пересечения перпендикуляра к плоскости с этой плоскостью, будет называться проекцией данной прямой на эту плоскость.

Саму прямую обычно в таком случае называют наклонной.

Откуда появляется теорема о трех перпендикулярах

Теперь давайте представим, что в этой плоскости провели некоторую прямую через основание наклонной, которая будет перпендикулярна проекции.

В таком случае окажется, что эта прямая будет в том числе перпендикулярна наклонной.

Поймем, почему это работает именно таким образом.

Пусть АМ — наклонная, АН — перпендикуляр к плоскости, НМ — проекция.

Если мы с вами изначально знаем, что некоторая прямая «а», лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции, то мы также можем сказать, что она перпендикулярна прямой АН, так как АН перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости (в том числе и прямой «а»).

Но тогда мы можем сказать, что прямая «а» перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости АНМ, а значит, перпендикулярна всей этой плоскости. Откуда мы можем сделать вывод о том, что эта прямая перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости АНМ, а значит, она перпендикулярна АМ (наклонной).

Верно и то, что если бы эта прямая изначально была перпендикулярна наклонной, то она была бы перпендикулярна ее проекции.

Но чтобы это работало, у вас обязательно должен быть проведен именно перпендикуляр ко всей плоскости, а не просто к нижней прямой, которую вы можете по ошибке принять за проекцию.

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее проекцией на этой плоскости.

***