Перпендикулярность прямой и плоскости

***

В предыдущих статьях мы разобрали признаки параллельности различных элементов в пространстве. Теперь пришла пора разобрать признаки перпендикулярности.

Перпендикулярность прямых в пространстве

Определение

Две прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90 градусов.

При этом эти прямые не обязательно должны лежать в одной плоскости. Они могут быть при этом скрещивающимися.

Лемма

На всякий случай поясним. Лемма — теорема, необходимая только для доказательства другой теоремы.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и вторая прямая тоже перпендикулярна этой прямой.

***

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обычно это определение используют в том случае, когда вы уже знаете, что прямая перпендикулярна плоскости. Тогда вы можете сказать, что она перпендикулярна вообще любой прямой, которая лежит в этой плоскости.

Теоремы о перпендикулярных к плоскости прямых

• Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

• Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой к плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Почему недостаточно перпендикулярности к одной прямой? В таком случае можно нарисовать картинку, где прямая перпендикулярна какой-то прямой в плоскости и при этом лежит в самой плоскости.

Почему обязательно двум пересекающимся прямым? По тем же соображениям можно нарисовать две параллельные прямые в плоскости, и какую-то прямую в этой же плоскости, которая перпендикулярна как одной, так и другой (за счет параллельности).

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к плоскости, и притом только одна.

***