Пирамиды

***

Пирамида — многогранник, одна из граней которого — произвольный многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, высота падает в его центр, а боковыми гранями являются равные равнобедренные треугольники.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

В правильной пирамиде высота падает в точку пересечения биссектрис, медиан и высот основания

В первой части экзамена ЕГЭ почти во всех задачах вы будете встречать именно правильные пирамиды, что облегчает некоторое понимание идей, которые необходимо будет использовать в подобных заданиях.

***

Дополнительно давайте разберемся в том, какими свойствами обладают пирамиды, боковые ребра которых равны.

Если боковые ребра пирамиды равны, то высота падает в центр описанной окружности.

Попробуйте провести высоту. Точку, в которую упала высота необходимо соединить с вершинами основания. В таком случае вы получите равные прямоугольные треугольники (по гипотенузе и общему катету).

Тогда оказывается, что отрезки до вершин равны, а значит, вершины равноудалены от этой точки, в которую падает высота. Отсюда следует, что эта точка является центром окружности, которая проходит через вершины основания.

1) Объем пирамиды находится по формуле

Где S — площадь основания, а h — высота пирамиды

2) Площадь боковой поверхности можно найти как сумму площадей боковых граней, однако если речь идет о правильной пирамиде, то можно найти площадь одной грани и умножить на их количество.

Здесь также стоит вспомнить особый элемент в боковых гранях пирамиды.

Апофема – высота боковой грани пирамиды.

3) Чтобы найти площадь всей поверхности пирамиды, нам необходимо к площади боковой поверхности прибавить площадь основания.

***