Метод рационализации

***

В предыдущей статье мы говорили о том, как решаются показательные и логарифмические неравенства. В случаях, когда в основании находится переменная, приходится рассматривать несколько случаев, что увеличивает время решения задания.

Чтобы избежать подобной проблемы, можно воспользоваться методом рационализации (да и в целом равносильными переходами), позволяющими изменить вид выражения таким образом, чтобы оно сохранило знак и ответ, который будет получаться.

Во всей статье мы будем приводить конкретный пример использования каждого равносильного перехода.

1) Сравнение логарифмов/показательных выражений друг с другом

Также стоит заметить, что сравнение двух выражений можно рассмотреть как сравнение разности этих выражений с 0.

Подобный переход позволяет не рассматривать несколько случаев. Вместо этого мы сразу получаем произведение множителей, которое сравнивается с 0. Таким образом мы сразу сможем перейти к методу интервалов, который позволит решить задание.

ОДЗ обязательно учитываем, просто это даже не обсуждается

Дополнительно стоит сказать, что метод рационализации мы можем применять и для отдельных множителей, в случаях, когда левая часть представлена в виде множителей, сравнивающихся с 0.

Такие преобразования можно применять в случаях, когда вы обычно готовы решить методом интервалов неравенство для переменной, которую вы использовали для замены:

Подобный равносильный переход позволяет не решать неравенство относительно переменной. Вместо этого мы сразу можем перейти к методу интервалов для икса.

При этом такой переход можно использовать не только в ситуациях, где у вас в основании переменная, но и в обычных ситуациях, где в основании есть конкретное число.

Все это можно также применять и в случаях с показательными неравенствами:

2) Сравнение логарифма с 0

Идея в том, что 0 можно представить в виде логарифма 1 по какому-то основанию. Поэтому не только из основания будет вычитаться 1, но и из подлогарифмического.

Если рассматривать конкретные примеры, то можно привести вот такой:

Есть и другие равносильные переходы для логарифмов, но супер актуальны, пожалуй, только эти 2.

В следующей статье мы разберем равносильные переходы для модулей и корней, которые также можно применять на экзамене.

***