Показательные и логарифмические неравенства

***

В этой статье мы разберемся в том, что необходимо учитывать при рассмотрении показательных и логарифмических неравенств.

Показательные неравенства

Как и в случаях с уравнениями, ваша задача сделать так, чтобы справа и слева от знака неравенства вы получили одинаковые основания, чтобы вы могли перейти к рассмотрению аргументов.

При рассмотрении показательных неравенств вам необходимо обращать внимание на основание, с которым вы работаете.

Если основание больше 1, то мы не меняем знак при переходе к рассмотрению аргументов функций:

Если основание меньше 1, то мы меняем знак на противоположный.

Это можно объяснить как на поведении функций (они будут убывающими, значит, зависимость аргументов обратная), так и с помощью вот такого преобразования:

Если же в основании находится переменная, то здесь мы не можем однозначно сказать, больше она 1 или меньше 1.

Поэтому придется рассматривать два случая:

Также стоит обращать внимание на икс, который превратит основание в 1 (1 в любой степени будет равна 1).

Но в нашем случае, получив слева и справа 1, мы понимаем, что этот вариант подходить не будет, так как у нас знак строгий.

Логарифмические неравенства

Все проходит почти также, как и в показательных неравенствах.

Если основание больше 1, то знак сохраняется, если основние меньше 1, то знак меняется (разумеется, все это надо учитывать с ОДЗ).

Если же мы не знаем, какое у нас основание (то есть там есть переменная), то нужно рассматривать 2 случая (учет ОДЗ даже не обсуждается):

---

Если не очень хочется рассматривать совокупности систем, то можно воспользоваться методом рационализации, о котором мы расскажем в следующей статье

---

***