Метод интервалов

***

Можно сказать, что любое неравенство, которое встречается во второй части экзамена, проще всего и оптимальнее всего решать методом интервалов.

Поэтому давайте в этой статье разберемся, в чем же смысл этого метода.

К какому виду приводим неравенство?

Для того, чтобы максимально эффективно использовать метод интервалов, вам необходимо выполнить два пункта:

• Вы должны справа от знака оставить только 0
• Левую часть неравенства надо разложить на множители, где в каждом множителе будет находиться переменная в первой степени вместе с каким-то числом

После того, как левая часть неравенства состоит только из таких простейших множителей, переходим к следующему этапу.

Как работает метод интервалов

Мы временно забываем о существовании неравенства и лишь пытаемся понять, как меняет свой знак в зависимости от переменной наша левая часть неравенства. Для этого мы можем рассмотреть ее в качестве некоторой функции:

Теперь надо осознать вот такую вещь. Знак всего выражения зависит от знаков каждого множителя в этой функции.

Если все множители положительные, то знак всего выражения тоже +.

Если 4 множителя со знаком +, а 1 с -, то все выражение будет с -.

Если 3 множителя с +, а 2 с -, то все выражение с +.

Ну и так далее…

Чтобы определить момент, когда каждый множитель меняет свой знак, нам для начала надо понять, когда у нас каждый множитель может равняться 0 (это нейтральное по знаку состояние множителя).

Все такие значения переменной выпишем на координатной прямой:

Теперь надо понять, какой знак принимает каждый множитель на каждом из полученных промежутков. Для этого будем подставлять какое-то значение из каждого промежутка вместо всех икс:

Видим, что если мы подставили значение 7, то каждый множитель будет положительный, а значит и все выражение будет положительным.

Теперь возьмем точку из следующего промежутка:

Видим, что один из множителей стал отрицательным, значит и вся функция (ее значение) теперь будет отрицательной.

Так можно определить знак на каждом промежутке, после чего мы выбираем те значения переменной, которые будут подходить нам по смыслу неравенства.

В нашем случае исходное выражение должно было быть больше 0, а значит:

В итоге мы получили ответ, но в этом случае мы достаточно долго проверяли знак всего выражения на каждом промежутке. Давайте поговорим о более эффективном способе определения знаков.

***

Более быстрый способ расстановки знаков

Как вы могли заметить, при переходе через какое-то значение на нашей прямой, один множитель менял свой знак. Тогда можно сказать, что если 1 множитель поменял свой знак на противоположный, то и все выражение поменяло свой знак на противоположный. Тогда получается, что, определив один знак, мы дальше можем их просто чередовать.

Но всегда ли это будет происходить? Не совсем.

Давайте рассмотрим вот такой пример:

Прошу заметить, что при переходе через значение 6, выражение х-6 внутри поменяло свой знак, но сам множитель остался положительным, так как он возводился в четную степень, из-за чего отрицательное выражение под этой четной степенью по итогу становилось положительным. Ну а раз множитель знак не поменял, то и все выражение знак не поменяло.

По итогу можно сказать, что если мы переходим через значение, которое обнуляет множитель в нечетной степени, то знак выражения меняется на противоположный. Если же проходим через значение, которое обнуляет множитель, который находится в четной степени, то знак оставляем таким же.

Рассмотрим это на еще одном примере:

Как видите, переходя через 6 и 0, мы не поменяли знак, так как эти значения обнуляли множители, которые были во 2 и в 8 степенях, а эти степени являются четными.

***