Система и совокупность в уравнениях и неравенствах

***

В этой статье мы с вами разберем, какие различия существуют между совокупностью и системой в уравнениях и неравенствах.

В целом, можно сказать, что система подразумевает нахождение общего, повторяющегося ответа в каждом уравнении/неравенстве в системе.

Совокупность является объединением решений, которые имеются во всех уравнениях/неравенствах в совокупности.

Примеры в уравнениях

Представим себе следующее уравнение:

Произведение равно 0, когда какой-нибудь из множителей равен 0. Но мы понимаем, что нам подойдут корни, которые превращают каждый множитель в 0. Значит, нам их нужно объединить. В таком случае, у нас получается совокупность решений:

Теперь давайте представим себе систему из нескольких схожих уравнений:

Если решать каждое из них по отдельности, то у нас получится две совокупности в рамках одной системы, где нам нужно будет найти общие корни, которые имеются в каждом элементе системы:

Решением данной системы является общий икс, который встречается как в первой совокупности, так и во второй совокупности.

Однако можно взять пример, где общих решений вообще не будет:

***

Пример в неравенствах

Возьмем для примера следующую систему неравенств:

Как и в случае с уравнениями, нам необходимо найти такие значения переменной, которые входят в оба неравенства системы. То есть найти пересечение этих промежутков.

Если же мы возьмем совокупность этих неравенств, то получим следующее:

В этом случае мы берем все решения, которые подходят для первого неравенства и объединяем их с решениями, которые подходят ко второму неравенству.

В первом подходит все, что меньше 5, а для второго подходит как 5, так и все, что больше 5. Поэтому и результат получается от -бесконечности до +бесконечности.

Если же сейчас поменять знаки неравенств на противоположные, то получим следующие результаты:

Получение систем и совокупностей из промежутка

При решении неравенств второй части вам иногда пригодится замена, относительно которой вы будете решать ваше неравенство, однако в какой-то момент, вам необходимо будет обратно возвращаться к исходной переменной. Поэтому после получения промежутка для вашей замены, нужно будет представить это решение в виде каких-то неравенств простейшего вида.

Давайте потренируемся с этим переходом.

Возьмем для примера вот такой промежуток для переменной:

Знак объединения показывает, что вам подходят решения из каждого отдельного промежутка, которых у вас тут 4. Тогда мы их должны объединить, а значит, записать в виде совокупности.

Но как записать каждый отдельный промежуток? В виде системы, которая будет показывать пересечение простейших неравенств:

Но вместо систем можно записывать двойные неравенства, чтобы проще было их воспринимать.

***