Метод вспомогательного угла

***

В предыдущих статьях мы рассматривали формулы, которые вы чаще всего будете применять в заданиях с тригонометрическими уравнениями второй части.

В этой статье мы рассмотрим один из методов преобразования выражений, который позволяет получить одну функцию из какого-то количества синусов и какого-то количества косинусов.

Используем данный метод в ситуациях, где невозможно разложить выражение на множители или не работают другие способы преобразований.

Например, в однородных уравнениях обычно делят на косинус, чтобы получить функцию тангенс, но не всегда такое преобразование помогает прийти к какой-то одной новой функции.

В чем идея?

Рассмотрим уравнение следующего вида:

Чтобы мы смогли получить из левой части нашего выражение одну функцию, мы должны подогнать ее под одну из формул синуса/косинуса суммы/разности двух аргументов.

В нашем случае будем подгонять под синус суммы двух углов:

Для этого нам необходимо каким-то образом получить вместо «а» косинус какого-то угла, а вместо «b» — синус такого же угла.

Как же это сделать?

Реализация плана

Вернемся к тому, с чего мы начинали. Рассмотрим прямоугольный треугольник.

Выберем в треугольнике какой-то угол. Если мы хотим вместо «а» сделать косинус, тогда примем значение прилежащего катета за «а», ну и противолежащий катет возьмем за «b». Тогда по теореме Пифагора мы можем выразить через «а» и «b» гипотенузу.

Теперь в рамках этого абстрактного треугольника мы напишем синус и косинус выбранного угла:

Теперь мы видим, что нам необходимо каким-то образом поделить «а» и «b» на корень из суммы квадратов этих коэффициентов.

Это можно сделать либо с помощью деления обеих частей уравнения на это выражение с корнем, либо через вынесение этого выражения в виде общего множителя.

Через деление:

Через вынесение:

В любом случае, дальше мы можем заменить наши дроби с корнями на функции синус и косинус какого-то угла (позже мы поговорим, что с этим введенным углом мы будем делать дальше).

***

Конкретные примеры

Чтобы лучше понять, как это работает, рассмотрим все на конкретных примерах.

Один будет с табличными углами:

Другой уже будет с менее красивым ответом:

Подставляя вместо введенного угла значение, вы можете выбрать любую аркфункцию, которая вам понравится. Но если не напрягаться, то можно остановиться на арккосинусе или арксинусе. Ответ будет верным при любой выбранной функции.

***