Основные формулы тригонометрии

***

Основное тригонометрическое тождество

Также с помощью этой формулы находят значения синуса/косинуса, если вы знаете одну из этих функций.

В заданиях первой части обычно указывают четверть угла. По ней вы сможете определить, с каким знаком вам необходимо взять значение функции.

Формулы для тангенса и котангенса

Чтобы находить значения тангенса и котангенса, можно либо найти отношение синуса к косинусу (или наоборот для котангенса), либо воспользоваться формулами. Давайте разберемся с вами, откуда они возникают.

Однако есть еще один необычный способ быстрого вычисления тригонометрических значений функций без использования каких-то специальных формул, если вы знаете значение одной из тригонометрических функций.

Способ нахождения без формул

Пусть мы знаем, что cosx=3/5. А угол лежит в первой четверти.

Вспомним, что косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе в рамках прямоугольного треугольника. Тогда мы, условно, можем сказать, что 3 — прилежащий катет, а 5 — гипотенуза:

Тогда мы можем найти оставшийся катет. Зная все стороны прямоугольного треугольника, мы сможем найти любую тригонометрическую функцию угла через отношение соответствующих сторон.

Зная одну функцию, мы будем знать две стороны из трех, значит, сможем найти третью. Тогда можем написать значение любой функции этого же угла.

Тангенс, котангенс и их произведение

В целом, понять, что произведение тангенса и котангенса будет давать 1, не очень сложно, но лучше хотя бы разочек самому все эти преобразования сделать, чтобы лучше прочувствовать, что при большом желании можно самостоятельно выразить абсолютно все формулы тригонометрии :)

***

Формулы суммы/разности аргументов

Эти формулы также можно вывести, но это уже будет не очень просто. Если что, выпустим отдельную статью с доказательством этих формул.

Они нам помогут при выводе формул двойного угла и при работе с формулами приведения.

Формулы двойных углов

Для косинуса можно составить и другие формулы двойного угла, если попытаться выразить все через одну функцию:

По итогу, для косинуса двойного угла можно использовать три формулы:

Для тангенса можно пойти через уже выведенные формулы:

Можете попробовать сделать похожие преобразования, чтобы вывести формулу для котангенса двойного угла.

Формулы понижения степени

Данные формулы выводятся с помощью уже разобранных ранее формул косинуса двойного угла.

Обычно они используются в примерах, где вам необходимо увеличить угол в два раза, чтобы можно было подставить значение, которое было бы табличным.

Например, можно таким образом найти значение косинуса или синуса 15 градусов:

Не скажу, что это применяется супер часто, но подобные идеи могут пригодиться как в заданиях по тригонометрии, так и в некоторых ситуациях в планиметрических задачах.

***

Формулы суммы/разности синусов/косинусов

Данные формулы используются только в заданиях второй части экзамена, причем в очень редких случаях.

Обычно они нужны в ситуациях, где углы сверх большие, а как-то уменьшать их нужно, чтобы дальше имелась возможность выносить какие-то множители.

Преобразование произведения синусов/косинусов в сумму/разность

Эти формулы очень тесно связаны с предыдущими. По сути из одних можно легко выразить другие.

Данные формулы произведений применяются на практике в заданиях ЕГЭ еще реже, чем предыдущие. По крайней мере в заданиях часто можно воспользоваться другими, более простыми методами решения.

Однако знать и помнить эти формулы как минимум полезно.

Универсальная замена

Эти формулы, если и применяются, используют при решении уравнений, где не хочется применять метод вспомогательного угла для приведения функции к одной единой. Тоже актуальны только для второй части профиля (и то, для самых неприятных заданий, где можно обойтись и без этих формул).

***