Простейшие тригонометрические уравнения

***

С углами на окружности разобрались, про аркфункции тоже поговорили в предыдущих статьях)

Теперь и за уравнения можно браться. 

Уравнения с синусом

Для решения уравнений на первых порах стоит использовать окружность, так как она помогает сформировать лучшее понимание взаимосвязей углов и значений тригонометрических функций.

Рассмотрим алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений для синуса.

Представим, что у нас есть уравнение sinx=a.

1) Отметим на оси синуса значение а

2) Проведем горизонтальную прямую через это значение до пересечений с окружностью

Отметим углы, которые получаются при пересечении данной прямой с окружностью

3) Угол справа будет равен arcsin(a)

4) Угол слева будет равен расстоянию, которое будет находиться как π-arcsin(a)

4*) Почему так? Чтобы отметить левый угол, нам необходимо показать расстояние от 0. Тогда можно пройти в положительном направлении расстояние π и вернуться назад (уже с минусом) на расстояние, которое будет равно расстоянию для правого значения угла. Именно поэтому мы проходим +π и -arcsin(a).

5) При прописывании решений не забудем, что будут подходить не только полученые углы, но и те, что будут повторяться через сколько угодно целых раз по 360 градусов (или же 2π)

Вот пример применения алгоритма на конкретных уравнениях:

Уравнения с косинусом

Представим, что у нас есть уравнение cosx=a.

1) Отметим на оси косинуса значение а

2) Проведем вертикальную прямую через это значение до пересечений с окружностью

Отметим углы, которые получаются при пересечении данной прямой с окружностью

3) Угол сверху будет равен arccos(a)

4) Угол снизу будет равен -arccos(a) (мы просто проходим то же расстояние, только в другом направлении).

5) При прописывании решений не забудем, что будут подходить не только полученые углы, но и те, что будут повторяться через сколько угодно целых раз по 360 градусов (или же 2π)

Теперь рассмотрим несколько конкретных примеров:

***

Объединение диаметрально противоположных точек

Перед тем как мы перейдем к решению уравнений с тангенсом и котангенсом, давайте рассмотрим еще несколько важных случаев с синусом и косинусом.

Возьмем следующие уравнения:

Стоит обратить внимание, что расстояние между нашими углами в обе стороны одинаковое. Оно равно π.

Для лучшего понимания следующего перехода, предлагаю расписать возможные корни синуса, если прибавлять или отнимать какое-то количество кругов. Тогда у нас могут получиться корни -π, 0, π, 2π, 3π и так далее.

Между всеми этими корнями разница в π. Тогда решение можно записать только через одно значение, к которому будет прибавляться/отниматься любое целое количество не 2π, а просто π.

Такое объединение решений работает в любых ситуациях, где между всеми решениями получается одинаковое расстояние. Самым распространенным случаем является случай диаметрально противоположных точек. Для них мы будем брать одно решение и повторять его через π.

Уравнения с тангенсом

Представим, что у нас есть уравнение tgx=a.

1) Отметим на оси тангенса значение а

2) Проведем прямую через это значение и начало координат до пересечений с окружностью

Отметим углы, которые получаются при пересечении данной прямой с окружностью

3) Получаются диаметрально противоположные углы. Значит, можно взять один угол, который будет acrtg(a), и повторять его через π.

Снова рассмотрим несколько примеров для лучшего понимания этих переходов:

Уравнения с котангенсом

С котангенсом все происходит точно так же, как и с тангенсом, только отмечать значения вы будете на оси котангенса, ну и корни будете записывать через arcctg(a).

Главное уловить основной принцип действий. При решении уравнений вам не обязательно показывать все преобразования на окружности. Она нужна лишь для вас, чтобы вы лучше поняли ход мыслей.

При должной отработке, вы с легкостью научитесь сразу называть все корни, которые у вас должны получаться в том или ином уравнении :)

***