Аркфункции и их ограничения

***

В предыдущих статьях мы уже научились работать с углами и значениями функций на окружности. Теперь пришла пора потихоньку переходить к уравнениям. Однако нам еще необходимо поработать для этого с аркфункциями.

Определение аркфункций

Для начала давайте рассмотрим следующее равенство:

Теперь давайте обратим внимание на угол. Есть табличные значения функций, углы которых мы можем легко найти, однако есть и ситуации, где значение угла выразить будет не так просто.

Попробуйте сказать, какой угол нужно взять, чтобы косинус этого угла равнялся 0,6.

Именно поэтому необходимо научиться записывать углы как-то по-другому, на математическом языке. Как раз для этого и были придуманы аркфункции.

Вернемся к изначальному примеру.

Мы можем словами сказать, что π/6 — такой угол, который превратит синус в значение ½. Слово угол заменяем на arc. Тогда получаем:

Чем-то это все напоминает работу с определением логарифма. Там мы тоже говорим, что это такая степень, которая превратит основание в какое-то значение.

При этом можно этот же угол записать через другие функции.

• π/6 — такой угол, который превратит косинус в значение √3/2
• π/6 — такой угол, который превратит тангенс в значение √3/3
• π/6 — такой угол, который превратит котангенс в значение √3

Такая форма записи углов как раз нужна в тех случаях, где мы не можем написать табличные значения. Например, такой угол, который превратит функцию тангенс в значение 2, можно записать как arctg2, а угол, который превратит косинус в 0,6, можно записать как arccos0,6.

Ограничения на аркфункции

Как мы можем заметить, внутри аркфункций находятся значения функций. Однако стоит помнить, что значения синуса и косинуса не могут быть по модулю больше 1.

Нет смысла в нахождении угла, синус которого равен 3. То есть arcsin3 просто не существует.

Значит, внутри арксинуса и арккосинуса не может быть значений больше 1 или меньше -1.

Но что можно сказать про сами значения аркфункций? Углы мы можем брать, в целом, любые (разве что в тангенсе и котангенсе не надо брать те, что превращают знаменатели в нули).

Однако для будущей работы нужно как-то однозначно определиться со значениями, которым будут равняться эти самые аркфункции.

С одной стороны, arcsin½ равен π/6, но, исходя из того определения, которое мы дали, можно было бы в теории взять и 5π/6, а можно было бы взять и 13π/6 и т.д.

Чтобы не возникало никаких спорных моментов, решили брать углы, которые по модулю будут самые маленькие, при этом промежуток значений углов должен охватывать все возможные значения тригонометрических функций.

Разберем этот момент на примере синуса и косинуса:

Все значения синуса можно задать с помощью углов, которые лежат в промежутке от -π/2 до π/2.

Для косинуса все значения можно задать в промежутке от 0 до π.

Для тангенса и котангенса ограничения такие же, как и для синуса и косинуса соответственно, только границы не берем (так как там будет происходить деление на 0).

***