Как находить значения тригонометрических функций через окружность

***

В предыдущих статьях мы говорили о том, как определить местоположение точки на окружности (поворот радиуса на угол или прохождение расстояния по дуге).

Теперь мы подробнее остановимся на том, как находятся значения тригонометрических функций на окружности.

Как определять значения синуса и косинуса?

Для начала рассмотрим какую-нибудь точку на окружности, которая имеет координаты (m, n).

m — длина отрезка, который надо пройти по оси абсцисс, n — длина отрезка, который надо пройти по оси ординат.

Обратите внимание, что значение тригонометрической функции какого-то уголочка на окружности будет равно тригонометрическому значению угла между радиусом и осью абсцисс в рамках получившегося прямоугольного треугольника.

Так как синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Не забудьте, что гипотенуза будет равна радиусу нашей тригонометрической окружности, а он всегда равен 1.

Получаем следующее:

То есть значение синуса/косинуса угла, а значит и значение синуса/косинуса в точке на окружности просто равно длине отрезка на соответствующей оси.

Чтобы лучше это прочувствовать, давайте разбирать это на конкретных примерах.

Примеры значений

Для начала вспомним основные табличные значения самих функций. Это 0, ½, √3/2, 1.

Отметим эти значения на осях:

Тепреь возьмем угол 30 градусов:

Мы опускаем перпендикуляр на ось синуса и смотрим на длину отрезка, который надо взять от начала координат. Длина этого отрезка равна ½. Для косинуса повторяем аналогичные действия.

Давайте еще для примера возьмем несколько других углов:

То есть ваша задача опускать перпендикуляр из точки на окружности на соответствующую ось и смотреть на значение, в которое вы попали.

***

Как определять значения тангенса и котангенса?

Для начала давайте поймем, как располагаются оси тангенса и котангенса:

Ось тангенса идет параллельно оси синуса, имея начало своих значений (0) в точке, где косинус равен 1.

Ось котангенса идет параллельно оси косинуса, имея начало своих значений (0) в точке, где синус равен 1.

Также сразу отметим все табличные значения этих тригонометрических функций.

Для того, чтобы определить значение тангенса или котангенса угла на окружности, нужно провести прямую через точку на окружности, обозначающую этот угол, и начало координат.

Значение функции будет равно тому значению, которое получится при пересечении этой прямой с соответствующей осью тангенса/котангенса.

***