Как самому вывести значения тригонометрических функций табличных углов

***

Обычно значения табличных углов заставляют зубрить наизусть, но в этой статье мы разберем два способа вывода табличных значений тригонометрических функций.

Так вы в любой момент сможете сами их написать отдельно на листочке/черновике, чтобы потом применять в заданиях.

Из прямоугольных треугольников

Как вам известно, в рамках прямоугольного треугольника тригонометрические функции можно рассматривать как отношения сторон.

Какие табличные углы у нас есть? Это 30, 45, 60 градусов.

Разумеется есть еще 0 и 90, но пока сконцентрируемся на этих трех.

Перед рассмотрением прямоугольных треугольников предлагаю ненадолго обратить внимание на равносторонний треугольник.

Что мы про него знаем?

• все стороны равны
• все углы равны по 60 градусов
• в нем можно провести высоту, тогда она будет являться медианой и биссектрисой

В таком случае (проведя высоту) мы отсечем прямоугольный треугольник, в котором будут углы 30, 60 и 90 градусов, и как раз там же мы сможем сказать, что катет, который лежит напротив 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Высота является медианой, поэтому она делит сторону пополам. Тогда каждая половинка равна половине стороны равностороннего треугольника.

Значения тригонометрических функций 30 и 60 градусов

Теперь сконцентрируемся на прямоугольном треугольнике с углами 30 и 60 градусов.

Давайте скажем, что его меньшая сторона равна 1, тогда гипотенуза равна 2.

По теореме Пифагора третья сторона будет равна корню из 3.

Теперь давайте вспомним определения тригонометрических функций:

• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему
• Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему

То есть мы можем посмотреть на сторону, которая лежит напротив 30 градусов. Она равна 1. Гипотенуза равна 2. Тогда синус равен отношению противолежащего катета (1) к гипотенузе (2). Получаем ½.

В таком случае, если мы будем рассматривать угол 30 градусов, из нашего треугольника мы получим следующие значения:

Для 60 градусов делаем то же самое, только теперь прилежащий и противолежащий меняются местами в рамках значений:

Значения тригонометрических функций 45 градусов

Давайте рассмотрим квадрат. Если в нем провести диагональ, то она будет являться биссектрисой. Таким образом мы отсечем равнобедренный прямоугольный треугольник.

Теперь отдельно рассмотрим этот равнобедренный прямоугольный треугольник. В нем скажем, что катеты равны по 1, тогда гипотенуза равна корень из 2.

По аналогии с предыдущим треугольником мы можем написать следующие значения тригонометрических функций 45 градусов через отношения сторон:

Поздравляю! Теперь вы можете повторять эти действия всегда, когда захотите вывести значения этих функций для табличных углов. В целом, не очень сложно это запомнить, так как сами табличные углы вы знаете, а вспомнить свойства прямоугольных треугольников с этими углами не составит большого труда :)

***

Вывод значений через особый алгоритм

Теперь рассмотрим способ быстрого вывода всех значений, но у него есть свой недостаток. Для этого надо запомнить сам алгоритм действий.

1) Пишем целые числа от 0 до 4

2) Извлекаем из них корень

3) Делим все значения на 2

Таким образом мы получим все табличные значения для синуса:

Чтобы получить значения косинуса, надо записать полученные числа в обратном порядке:

Значения тангенса можно получить делением синуса на косинус, для котангенса значения косинуса будем делить на соответствующие значения синуса :)

С учетом того, что вам предстоит много практики по тригонометрии, вы все равно выучите все эти значения, так как будете с ними супер часто работать, но на первых порах можете пользоваться этими способами, если не окажется под рукой самих значений!

***