Основное тригонометрическое тождество

***

С этой статьи мы начнем погружение в мир тригонометрии :)
Давайте разберемся в том, откуда вообще появилось основное тригонометрическое тождество.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Сперва возьмем прямоугольный треугольник АВС и обозначим прямой угол буквой С.

Обозначим угол А как альфа. В таком случае мы можем сказать, что:

• Синус альфа равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
• Косинус альфа равен отношению прилежащего катета к гипотенузе
• Тангенс альфа равен отношению противолежащего катета к прилежащему
• Котангенс альфа равен отношению прилежащего катета к противолежащему

В нашем треугольнике данные тригонометрические функции будут равны следующим отношениям сторон:

Теперь давайте вспомним, какое классное равенство существует для прямоугольного треугольника, которое связывает его стороны?

Конечно же это теорема Пифагора!

Вывод основного тригонометрического тождества

Для нашего треугольника напишем теорему Пифагора:

Теперь выполним некоторые преобразования, позволяющие нам перейти к тригонометрическим функциям. Для этого необходимо рассмотреть отношение сторон. Синус и косинус подразумевают наличие отношения какого-то катета к гипотенузе. Давайте сами организуем данное отношение в рамках нашего равенства.

Для этого необходимо обе части уравнения поделить на гипотенузу, но так как у нас везде имеются квадраты, мы поделим обе части равенства на гипотенузу в квадрате:

Теперь обратите внимание, что в каждой дроби мы можем вынести общую степень, чтобы получить отношение сторон.

Тогда мы приходим к следующему равенству:

Поздравляю! Мы получили основное тригонометрическое тождество, с помощью которого мы дальше будем выводить для себя все остальные формулы в тригонометрии :)

***