Формулы логарифмов

***

В предыдущей статье мы разбирались в том, что такое логарифм. Теперь пора поговорить о формулах, которые нам пригодятся.

1) Основное логарифмическое тождество

Давайте постараемся понять, почему это так работает.

Представим следующее уравнение:

Степень запишем через логарифм. Так как второе равенство следовало из первого, можно подставить вместо икс то выражение, которое получили, и тогда мы придем к следующему:

Еще можно вернуться к смыслу того, что у нас написано. Наш логарифм — такая степень, в которую нужно возвести основание 5, чтобы получилось число 7.

И мы с вами возвели 5 в такую степень, в которую нужно было возвести основание 5, чтобы получить 7. Значит, на выходе мы получили число 7.

С помощью данного тождества можно также представлять любые положительные числа в виде других оснований.

Вот пару примеров:

2) Логарифм числа по такому же основанию

Здесь можно легко понять это через определение логарифма. В нашем случае это такая степень, в которую нужно возвести основание а, чтобы получилось число а. Какую степень надо взять? Единицу.

3) Логарифм единицы по какому-то основанию

Также воспользуемся определением логарифма. У нас это такая степень, в которую нужно возвести основание а, чтобы получилась единица. Основание в какой степени равно 1? В нулевой.

***

4) Сумма логарифмов

Стоит сказать, что, как и в случае с показательными выражениями, мы можем рассматривать такое взаимодействие логарифмов, если у нас будут одинаковые основания.

Теперь давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм — это степень. А когда степени складываются? При перемножении оснований. В нашем случае при перемножении подлогарифмических выражений.

5) Разность логарифмов

Можно догадаться, что в этом случае будет деление.

Эти формулы работают и в обратную сторону. То есть произведение/дробь внутри логарифма можно разложить на сумму/разность логарифмов с одинаковым основанием.

Нюанс для 4 и 5 формул.

Нюансы с ограничением появляются как раз в тот момент, когда мы раскладываем логарифм на сумму или разность. Давайте рассмотрим подробнее, что здесь стоит учесть.

Допустим, у нас есть логарифм произведения. Посмотрим на те ограничения, которые мы должны изначально прописать:

Если просто расписать это как сумму логарифмов, то получим следующие ограничения:

Мы не можем использовать преобразования, которые меняют ограничения. В нашем случае мы убрали возможность для а и с быть отрицательными.

Чтобы это исправить, необходимо поставить модули, которые позволят а и с внутри модуля быть отрицательными, но само выражение под логарифмом при этом будет положительным.

С дробью все будет происходить по аналогии.

***

6) Подлогарифмическое выражени в степени

Давайте вспомним, что происходило в случаях, когда мы число в какой-то степени возводили в еще какую-то степень? Степени перемножались.

Значит, нашу степень k мы будем умножать на степень, которой и является логарифм.

7) Основания логарифма в степени

Попробуем вспомнить, что необходимо сделать, чтобы убрать степень основания? Мы должны извлечь корень этой степени. Можно еще сказать, что мы должны поделить на эту степень.

Но деление на какую-нибудь степень можно записать в виде умножения на обратное число. Поэтому наш логарифм мы умножаем на 1, деленное на эту степень.

8) Вынесение обеих степеней

Тут мы можем сразу сказать, что на k мы умножаем, а на m мы делим.

Все эти формулы работаю и в обратную сторону. То есть мы можем заносить в степень основнания или подлогарифмического выражения те числа, которые будут умножаться на логарифм.

Некоторый нюанс для 6, 7, 8 формул.

Веселье начинается, когда нам необходимо вынести четную степень из внутренних выражений логарифма.

Здесь все дело в ограничениях, которые имеются на внутренние выражения логарифма.

Давайте поймем все это на конкретном примере.

Если сейчас вынести степень и записать это вот так:

То выясняется, что теперь внутреннее выражение должно быть строго больше нуля, хотя в исходном выражении мы могли подставлять отрицательные выражения вместо икса, так как четная степень позволяла сделать так, чтобы по итогу внутреннее выражение было положительным.

Мы не можем делать таких преобразований, которые меняют исходные ограничения. Исправить данную невозможность подстановки отрицательных чисел вместо икса поможет то, что позволяет быть выражению внутри отрицательным, но по итогу делает его положительным. Это модуль.

Поэтому при вынесении четной степени из подлогарифмического выражения (или основания), должен появляться модуль.

Пугаться модуля не стоит. Его можно будет однозначно раскрыть либо исходя из других ограничений в уравнении/неравенстве, либо придется рассматривать несколько случаев раскрытия модуля :)

9) Особое произведение логарифмов

Если очень хочется понять, почему это так работает, оставлю ниже объяснение :)

10) Приведение к новому основанию

Если в предыдущей формуле поделить обе части уравнения на логарифм с по основанию b, то получим следующее:

Обычно эта формула может пригодиться в неравнествах второй части, где мы наоборот будем деление логарифмов представлять в формате одного логарифма, где основанием будет подлогарифмическое выражение из знаменателя, а новым подлогарифмическим будет подлогарифмическое выражение из числителя.

Но как применять эту формулу по назначению?

Давайте рассмотрим вот такой пример:

11) Как поменять местами основание и подлогарифмическое выражение?

Сначала вернемся к 9-ой формуле и заменим а на b.

Теперь можно поделить обе части на логарифм b по основанию c, и получим:

12) Поменять местами основание степени и подлогарифмическое

Этим свойством пользуются крайне редко, но это не значит, что вам его не надо знать.

По итогу в этой статье мы не только разобрали формулы, но и рассказали и том, как научиться понимать все эти преобразования.

Материал сложен лишь до тех пор, пока вы его не понимаете. Если разобраться в основах, то можно и преисполниться настолько, что математика может даже начать нравиться)

***