Определение логарифма

***

Перед тем как переходить к формулам, стоит вспомнить, что такое логарифм, откуда он берется, и какие ограничения стоит накладывать на выражения внутри логарифма.

Ограничения на показательные уравнения

Сперва рассмотрим следующее показательное уравнение:

Также стоит вспомнить, какие ограничения накладываются при рассмотрении показательных уравнений.

1) Основание должно быть больше нуля.

Если рассмотреть функцию с отрицательным основанием (например, -2), то при значении икс, равном 0,5, мы имеем в виду, что будем извлекать корень из -2, что в рамках действительных чисел невозможно.

У нуля есть проблемы при возведении в отрицательную степень, поэтому мы тоже не можем рассматривать ноль как основание на области всех действительных чисел для показателя степени.

Именно поэтому мы рассматриваем в рамках таких уравнений только основания, которые больше нуля.

P.S. Это не значит, что мы не можем отрицательные числа возводить в какие-то степени. Разговор лишь о том, что в рамках показательных уравнений мы этого делать не будем.

2) Само выражение в некоторой степени должно быть больше нуля.

Попробуйте подставлять различные степени на области действительных чисел и вы убедитесь, что невозможно возвести положительное основание в такую степень, чтобы результат возведения был меньше или равен нулю.

А если наше положительное основание в какой-то степени больше нуля, то и выражение справа (так как оно равно выражению слева) тоже должно быть больше нуля.

По итогу, приходим к следующему:

Когда мы разобрались с ограничениями на показательные уравнения, мы готовы переходить к логарифмам :)

***

Определение логарифма

Для начала давайте попробуем проговорить, что такое икс в данном уравнении, которое мы с вами записывали.

Х — это такой показатель степени, в который нужно возвести основание a, чтобы получилось число b.

А теперь показатель степени переводим на математический язык, называя это логарифмом. И тогда получается, что х — это логарифм b по основанию а.

Ограничения на внутренние выражения логарифма

Обратите внимание, что логарифм появляется из показательного уравнения, значит ограничения на показательные уравнения сохранятся и для логарифмов. Однако к нам добавится еще одно ограничение на основание.

Рассмотрим следующее уравнение:

Мы помним, что 1 в любой степени должно равняться 1. Это означает, что в этом уравнении нет решений, а значит и невозможно сказать, что икс - это такая степень, в которую нужно возвести основание 1, чтобы получилось число 4, потому что такой степени не существует.

Теперь давайте рассмотрим вот такое уравнение:

В этом случае икс будет любым. Но тогда, говоря о том, что икс — это такая степень, в которую нужно возвести основание 1, чтобы получилось число 1, мы будем иметь в виду абсолютно любое число, что не очень вяжется с будущей работой с логарифмами.

По итогу получается, что в рамках показательных уравнений основание может быть единицей, но в рамках логарфима это не будет иметь смысла. Поэтому мы дополнительно говорим о том, что основание логарифма не равняется единице.

***

Использование определение логарифма для решения уравнений

Стоит также осознать, что мы всегда получаем логарифм при решении показательных уравнений, просто значения некоторых из них мы знаем.

Давайте рассмотрим несколько примеров:

В рассмотренных выше случаях мы могли сразу назвать икс, но, по-хорошему, мы пропускали этап написания логарифма, однако в некоторых случаях мы не можем назвать значение икс, так как оно будет явно нецелым.

В данных примерах нам необходимо как-то записать степень, именно поэтому она будет прописываться через логарифм.

Примеры вычисления логарифмов

Чтобы лучше прочувствовать определение и смысл логарифма, давайте напишем несколько отдельных логарифмов и попытаемся получить значения, которым они будут равны.

Увидев такой логарифм, мы мысленно говорим, что перед нами такая степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получилось число 81, поэтому такая степень равна 4.

Здесь мы видим, что перед нами такая степень, в которую нужно возвести основание 7, чтобы получилось число 49. Эта степень равна 2.

Давайте рассмотрим пример чуть посложнее.

Перед нами такая степень, в которую нужно возвести основание 9, чтобы получилось число 3. Обычно мы извлекаем корень из 9, чтобы получить число 3, но корень — это какая степень? Как раз ½.

Здесь мы рассмотрели всю основную информацию, которую необходимо осознать про логарифм, чтобы понять все последующие формулы, которые мы будем использовать при решении заданий!

***