Комбинации с окружностью (часть 1)

В данной статье мы разберем теорию, которую необходимо знать для решения заданий с вписанными и описанными окружностями для треугольников.

Начать стоит с того, что в любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность. Не все фигуры могут похвастаться подобным свойством.

1) Окружность, вписанная в треугольник.

Вывод формулы можно посмотреть на следующих картинках

Тут важно понять, что если в задаче вас просят найти радиус вписанной окружности, то у вас не так уж и много вариантов, откуда его можно найти. Одним из них будет формула, описанная выше.

Более того, формула нахождения площади фигуры через радиус вписанной окружности и полупериметр работает не только для треугольника, но и вообще для любой фигуры, в которую можно вписать окружность!

2) Окружность, описанная около треугольника.

Вывод формулы можно посмотреть на следующей картинке

Как и в предыдущем случае здесь будет актуально сказать о способах нахождения радиуса описанной окружности в задачах. Даже если у вас в задаче окружность будет описана около четырехугольника, почти всегда потребуется рассмотреть именно треугольник, который будет вписан в эту же окружность, так как для треугольников существует несколько формул по нахождению радиусов.

Одна из них у вас перед глазами, а вторая — теорема синусов. Просто помните, что скорее всего придется идти именно этими двумя способами. В таком случае вы перестанете бояться подобных непростых формул (если вдруг боялись) :)

3) Окружности в комбинации с прямоугольным треугольником.

Вывод формулы можно посмотреть на следующих картинках

Прямоугольные треугольники являются особыми гостями в задачах по геометрии, соответсвенно и формулы для них тоже особые. Однако обратите внимание на то, что для вывода этих формул используются факты из предыдущих статей. То есть это еще раз показывает, что все взаимосвязано. Так что попробуйте именно понять выводы данных формул. Это позволит вам лучше разобраться не только с этой темой, но и со всеми, что будут опираться на данные факты.