Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части.

Уверен, что многим из вас это и так было известно, поэтому предлагаю копнуть немного дальше и узнать больше фактов об этом элементе.

1. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

При этом всем верно и обратное.

Если точка равноудалена от сторон угла, то она обязательно лежит на биссектрисе этого угла.

Доказывается через равенство двух полученных треугольников, которое приводит к равенству углов.

Это не самый запоминающийся факт. Многие даже не вспоминают о нем, так как не часто его используют.

Если вы очень внимательны и/или до просмотра этой темы изучили тему окружностей, то вам этот рисунок может показаться очень знакомым. Из определения окружности следует, что точки А и В можно рассмотреть как центры окружностей, вписанных в данный угол, а проведенные перпендикуляры представить в виде радиусов этих окружностей.

Также похожая ситуация складывается, если провести из одной точки две касательные к одной окружности.

2. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Самое интересное заключается в том, что этот факт полностью вытекает из предыдущего.

Вы можете попробовать самостоятельно это прочувствовать.

1) Нарисуйте треугольник и проведите 2 пересекающиеся биссектрисы.

2) Из точки пересечения опустите перпендикуляры к сторонам углов, из которых вы провели биссектрисы

3) Так как перпендикуляры должны быть между собой равны, получается, что из точки пересечения биссектрис выходит 3 равных между собой отрезка. Значит, концы этих перпендикуляров лежат на одной окружности, а сами перпендикуляры являются радиусами (следует из определения окружности)

4) Вы также можете соединить точку пересечения биссектрис с вершиной оставшегося третьего угла. Полученный отрезок будет являться частью биссектрисы, по обратному свойству, описанному выше (если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе)

Что это все означает? Важно уже сейчас понять, что в геометрии на самом деле достаточно выучить базовые факты (их немало). Остальные будут выводиться уже из них.

Если вы научитесь понимать взаимосвязь между всеми этими теоремами и свойствами, вам не придется зубрить тонны формул, а самое важно заключается в том, что вы научитесь применять все эти знания на практике и будете видеть, что от вас хотят в той или иной задаче.